Intégrales multiples; Fonctions exponentielles;

Cet ouvrage est consacré dans une petite partie à l'étude des intégrales généralisées des fonctions d'une variable réelle à valeurs vectorielles et en grande partie à l'étude des séries. Dans le premier chapitre, on introduit l'intégrale d'une fonction réglée dénie sur un intervalle fermé borné de R et à valeurs dans un espace vectoriel normé (e.v.n) puis celle d'une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a; b]. Cette étude a été abordée dans le livre sur les fonctions d'une variable réelle mais il s'agissait des fonctions à valeurs réelles ou complexes seulement et le procédé était diérent. On dénit ensuite la notion d'intégrale généralisée d'une fonction d'une variable réelle non nécessairement bornée dans un intervalle non nécessairement fermé ni borné du type ]a; b] ou [a;+1[ à valeurs dans un e.v.n. On commence par les fonctions positives et on en tire les conséquences sur les intégrales absolument convergentes. Le résultat le plus important, pour les fonctions de signe quelconque, est le critère de Dirichlet. On considère ensuite les fonctions dénies par une intégrale généralisée à valeurs dans un e.v.n. de dimension nie. On donne les conditions de continuité, dérivabilité et d'intégrabilité de ces fonctions. On aborde dans les quatres chapitres suivants l'étude des séries. Le premier concerne les séries de vecteurs. Les théorèmes sur les séries absolument convergentes se basent sur l'étude préalable des séries à termes positifs. On démontre les diérents critères de D'Alembert, Cauchy et la comparaison avec une intégrale. L'application de ces résultats est la dénition de la fonction exponentielle d'une matrice carrée et celles des fonctions exponentielle, cosinus et sinus, cosinus et sinus hyperbolique d'une variable complexe. Puis on aborde l'etude des intégrales semi-convergentes centrée sur le principal théorème qui utilise la transformation d'Abel. Les opérations sur les séries : sommation par paquets, multiplication, et l'étude du comportement asymptotique des sommes partielles ou des restes d'une série viennent ensuite. On termine ce chapitre par l'application des résulats précédents en particulier la transformation d'Abel pour l'étude des séries de fonctions. Le chapitre suivant est dévolu à l'étude des séries entières. On dénit le rayon de convergence d'une série entière, basé sur le lemme d'Abel, et on donne le critère de Cauchy-Hadamard, la condition de D'Alembert pour le calcul de ce rayon de convergence. Puis on aborde les critères pour le développement des fonctions C1 en séries entières. En particulier on prouve le théorème de S. Bernstein. Cette étude est illustrée par les développements en séries entières de certaines fonctions élémentaires comme la fonction exponentielle, les fonctions circulaires et les fonctions hyperboliques et leurs inverses. La dernière partie de ce chapitre concerne la formule d'Euler - Mac-Laurin où nous introduisons les nombres et les polynômes de Bernoulli. Cette formule est très importante dans l'accélération de la convergence de certaines séries. On achève ce chapitre par quelques exemples.